Parties d'un ensemble
Définition :
On appelle partie d'un ensemble \(E\) un ensemble \(F\) tel que tous les éléments de \(F\) appartiennent à \(E\).
On dit que \(F\) est inclus dans \(E\) et on note \(F\subset E\), c'est-à-dire que \(\forall x\in F, x\in E\).
Définition :
La réunion \(A\cup B\) de deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant à \(A\) ou à \(B\).
L'intersection \(A\cap B\) de deux ensembles est l'ensemble des éléments appartenant à \(A\) et à \(B\).
Deux ensembles \(A\) et \(B\) dont l'intersection est vide sont dits disjoints : \(A\cap B = \emptyset\).
Exemple :
\(\left\{a;b\right\}\subset \left\{a,b,c\right\}\).
Si \(A=\left\{a;b;c;d;e\right\}\) et \(B=\left\{b;e;f;g\right\}\) alors \(A\cup B =\left\{a;b;c;d;e;f;g\right\}\) et \(A\cap B=\left\{b;e\right\}\).
Définition :
On appelle \(\mathcal{P} (E)\) l'ensemble de toutes les parties de \(E\), c'est-à-dire de tous les sous-ensembles de \(E\), y compris de l'ensemble vide et \(E\) lui-même.
Exemple :
Si \(E=\left\{a;b;c\right\}\) alors \(\mathcal{P} (E)=\left\{\emptyset ;\left\{a\right\};\left\{b\right\};\left\{c\right\};\left\{a,b\right\};\left\{a,c\right\};\left\{b,c\right\};\left\{a;b;c \right\} \right\}\).
On peut remarquer que \(Card(\mathcal{P}(E))=2^3\).