Les ensembles
Définition :
Un ensemble est une collection d'objets distincts \(x\) qu'on appelle éléments.
On dit alors que \(x\) appartient à \(E\) et on note \(x\in E\) ou que \(x\) n'appartient pas \(E\) et on note \(x\notin E\).
Exemple :
\(E=\left\{ a,b,c\right\}\) est un ensemble à 3 éléments.
\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) sont des ensembles qui ont une infinités d'éléments.
L'ensemble vide \(\emptyset\) est un ensemble ne contenant aucun élément.
Ensembles donnés en compréhension :
Exemples :
\(E=\{x\in \mathbb{R} ;x\ge1\}=[1 ;+\infty[\) :
E
=
{
\(x\in\mathbb{R}\)
;
\(x\ge 1\)
}
E
est
l'ensemble des
réels \(x\)
tels que
\(x\) est supérieur ou égal à 1
\(\{a^2+b^2+1 ; a \in \mathbb{N} ~et ~b \in\mathbb{N}\}\)
Pour lister les éléments d'un ensemble, on utilise des accolades.
L'ordre dans un ensemble n'importe pas : \(\left\{a ;b\right\}=\left\{b ;a\right\}\) et il n'y a pas de répétitions : \(\left\{a ;a\right\}=\left\{a\right\}\).
Définition :
Un ensemble à un élément est appelé singleton, un ensemble à deux éléments est une paire.