Principe multiplicatif
Fondamental :
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles finis. Alors :
\(Card(A×B)=Card(A)×Card(B)\).
On se rappelle que l'on a obtenu le nombre de repas du restaurant en calculant le cardinale de \(E\times P \times \left( CF \cup D \right)\).
Complément :
Fondamental :
Le produit cartésien de \(A\) par \(A\) est noté \(A^2\) et plus généralement le produit de \(A\) par lui-même \(k\) fois, avec \(k>1\) se note \(A^k\).
On retrouve la notion vue précédemment de \(k\)-uplet : un \(k\)-uplet étant en effet un élément de \(A^k\).
Ainsi, on obtient :
Fondamental : Nombre de k-uplets d'éléments de A
Soient \(A\) un ensemble fini et \(k\) un nombre entier naturel non nul.
Alors \(Card(A^k)=\left[Card(A)\right]^k\).
Ainsi, le nombre de \(k\)-uplets d'éléments d'un ensemble \(A\) À \(n\) éléments vaut \(n^k\).
Remarque :
Un \(k\)-uplet d'éléments de \(A\) correspond à un tirage avec ordre et avec remise de \(k\) éléments de \(A\).
Fondamental : Nombre de parties d'un ensemble à n éléments
Le nombre de parties d'un ensemble \(A\) à \(n\) éléments est égal à \(2^n\).
Complément :
On écrit l'ensemble \(A\) sous la forme \(A=\{a_1 ;a_2 ;... ;a_n\}\). On peut alors associer à chaque partie de \(A\) un \(n\)-uplet d'éléments de \({0 ;1}\) en choisissant 1 si l'élément \(a_i\) est dans la partie, et 0 sinon.
Par exemple \((0 ;1 ;1 ;0 ;... ;0)\) si on s'intéresse à la partie \(\{a_2 ;a_3\}\).
Ainsi, le nombre de parties de \(A\) est égal au nombre de \(n\)-uplets de \(\{0 ;1\}\), donc \(Card(\mathcal P(A))=2^n\).
Remarque : Tirages avec remise
On a ainsi que le nombre de tirages avec remise de \(k\) éléments dans un ensemble à \(n\) éléments vaut \(n^k\).