Propriété des k parmi n

Fondamental

Pour tous entiers \(n\) et \(k\leq n\), on a :

  • \({n \choose 0}=1\) et notamment \({0 \choose 0}=1\) une seule façon de choisir 0 éléments parmi \(n\) : ne pas en choisir du tout !

  • \({n \choose n}=1\) : une seule façon de choisir \(n\) éléments parmi \(n\) : tous les prendre !

  • \({n \choose k}={n \choose {n-k}}\) : en effet, choisir \(k\) éléments parmi \(n\) revient à choisir tous les autres,

  • \({n \choose 1}={n \choose {n-1}}=n\),

  • Relation de Pascal : \({{n+1} \choose {k+1}}={{n} \choose k}+{{n} \choose {k+1}}\) .

    On peut alors établir le triangle de Pascal.

    Cf la vidéo d'Yvan Monka (information : une épreuve de Bernoulli consiste en une succession de tirages indépendants conduisant à un succès ou un échec cf la loi binomiale qu'on reverra ultérieurement).

    On obtient :

    On lit par exemple que \({6\choose 2}=15\)

Curiosité concernant le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal a de nombreuses propriétés dont celles-ci.

Fondamental

Pour tout \(n\ge1\) :

\(\displaystyle\sum_{i=0}^n  { n \choose i}=2^n\).

Pour le vérifier, rien ne vaut pour commencer un bon programme python :

1
def fact(n):
2
    fact=1
3
    for i in range(1,n+1):
4
        fact=fact*i
5
    return fact
6
7
def somme(n):
8
    s=0
9
    for i in range(n+1):
10
        s=s+fact(n)/fact(i)/fact(n-i)
11
    return int(s)   
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n=10
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print("somme des coefficients binomiaux = "+str(somme(n))
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print("2^n"+str(2**n))
15
code python
Complément
Pour la démonstration, on se référera à cette vidéo :


\(~\)
Et on se rappelle que le nombre de parties d'un ensemble à \(n\) éléments est égal à \(2^n\).