Parties d'un ensemble A
Rappel :
On rappelle qu'on appelle partie d'un ensemble \(A\) tout sous-ensemble de \(A\) et qu'on note \(\mathcal P (A)\) l'ensemble des parties de \(A\).
Définition :
Soit \(A\) un ensemble à \(n\) éléments et \(k\) un entier naturel inférieur ou égal à \(n\).
On appelle combinaison de \(k\) éléments de \(A\) toute partie de \(A\) contenant \(k\) éléments.
On note \(n\choose k\) le nombre de combinaisons de \(k\) éléments parmi les \(n\) de \(A\).
Fondamental : Nombre de combinaisons
Le nombre de combinaisons de \(k\) éléments parmi \(n\) est obtenu grâce à :
\({n\choose k}=\dfrac{ n!}{ k!(n-k)!}=\dfrac{n\times(n-1)\times...\times(n-k+1)}{ k!}\)
Complément :
On peut remarquer qu'une combinaison correspond à un tirage sans remise et sans tenir compte de l'ordre de \(k\) éléments de \(A\).
Pour dénombrer les combinaisons, on peut compter le nombre de tirages avec ordre et sans remise de ces \(k\) éléments et diviser par le nombre de permutations de ces \(k\) éléments :
On obtient ainsi \({n \choose k}=\dfrac{A_n^k}{k !}=\dfrac{\dfrac{n!}{(n-k)!}}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
Utilisation de la calculatrice
NUMWORKS :
On utilise la boîte à outils :
CASIO :
On appuie sur OPTN, puis F6, puis PROB,
Ensuite, pour calculer le nombre de combinaisons d'un ensemble à 6 éléments, on appuie sur 6 nCr 3 :
TI :
On appuie sur la touche MATH, puis on choisit PRB, puis 2 :nCr :
Exemple : Au bridge
Au bridge, chaque joueur possède une main de 13 cartes extraites d'un jeu de 52 cartes.
Le nombre de mains est de \(52\choose 13\). On utilise la calculatrice pour déterminer ce nombre :
On utilise la boîte à outils pour trouver le résultat :
