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Question

Montrer par récurrence que si une suite vérifie \(u_{n+1}=r+u_n\) pour tout \(n\in \mathbb N\), alors \(u_n=r\times n+u_0\) pour tout \(n\in \mathbb N\)

Solution

Soit \(\mathcal P_n\) la propriété \(u_n=r\times n+u_0\)

  1. Initialisation

    \(u_0=0\times r+u_0\) donc \(\mathcal P_0\) est vraie

  2. hérédité

    Supposons que \(\mathcal P_k\) soit vraie. Regardons au rang \(k+1\):

    \(u_{k+1}=u_k+r\) par définition.

    \(u_{k+1}=r\times k+u_0+r\) en remplaçant \(u_k\) par sa valeur donnée par \(\mathcal P_k\).

    Donc en regroupant les termes, \(u_{k+1}=r\times (k+1)+u_0\), ce qui montre que \(\mathcal P_{k+1}\) est vraie.

  3. conclusion

    La propriété \(\mathcal P_n\) est initialisée pour \(n=0\) et héréditaire. Le principe de démonstration par récurrence montre donc que pour tout \(n\geq 0\), on a la formule \(u_n=n\times r+u_0\).